y′ = 38·y + 8

y′ = a·y + b теңдеуінің шешімін көрсетеміз: қадамдар, жауап формуласы және тексеру.

Коэффициенттер сөзбен: a = тридцать восемь, b = восемь.

y′ = 38·y + 8

y(x) = C·e^(38·x) - 4/19

Берілген: y′ = 38·y + 8
Келесі түрге келтіреміз: y′ − a·y = b
1) Интеграциялаушы көбейткіш:
   μ(x) = e^(−38·x)
2) Теңдеуді μ(x)-ке көбейтеміз:
   (y′ − a·y)·μ = b·μ
3) Сол жақ толық туындыға айналады:
   (y·μ)′ = b·μ
4) Интеграциялаймыз:
   y·μ = ∫ b·μ dx + C
5) y-ді шығарамыз:
   y(x) = C·e^(38·x) − 4/19
Жауап: y(x) = C·e^(38·x) - 4/19

1-қадам: a·y-ды солға жылжытамыз: y′ − a·y = b.

2-қадам: интегралдаушы көбейткіш μ(x)=e^(−a·x) аламыз.

3-қадам: көбейткеннен кейін сол жақ бөлік толық туындыға (y·μ)′ айналады.

4-қадам: оң жақ бөлікті интегралдаймыз және C тұрақтысын қосамыз.

5-қадам: e^(a·x)-пен көбейтеміз және y(x) жалпы шешімін аламыз.

a=0 болғанда y′=b. a≠0 болғанда интеграциялаушы көбейткішті қолданамыз және C тұрақтысымен жалпы шешімді аламыз.

Шешімді тексереміз: y′-ді есептеп, a·y+b-мен салыстырамыз — сәйкес келуі керек.

C тұрақтысы не білдіреді?
Бұл дифференциалдық теңдеудің шешімдер отбасын көрсететін еркін тұрақты.

Интегралдаушы көбейткішсіз қашан шешуге болады?
a = 0 болғанда: теңдеу y′ = b болып, тікелей интегралдаумен шешіледі.

Тексеру не үшін қажет?
Шешімді орнына қойғанда y′ туындысының a·y + b өрнегімен сәйкес келуін тексеру үшін.