y′ = 54·y + 52

y′ = a·y + b түріндегі ДТ-ны шешеміз: жалпы шешімді табамыз және қысқаша тексереміз.

Коэффициенттер сөзбен: a = пятьдесят четыре, b = пятьдесят два.

y′ = 54·y + 52

y(x) = C·e^(54·x) - 26/27

Берілген: y′ = 54·y + 52
Келесі түрге келтіреміз: y′ − a·y = b
1) Интеграциялаушы көбейткіш:
   μ(x) = e^(−54·x)
2) Теңдеуді μ(x)-ке көбейтеміз:
   (y′ − a·y)·μ = b·μ
3) Сол жақ толық туындыға айналады:
   (y·μ)′ = b·μ
4) Интеграциялаймыз:
   y·μ = ∫ b·μ dx + C
5) y-ді шығарамыз:
   y(x) = C·e^(54·x) − 26/27
Жауап: y(x) = C·e^(54·x) - 26/27

1-қадам: a·y-ды солға жылжытамыз: y′ − a·y = b.

2-қадам: интегралдаушы көбейткіш μ(x)=e^(−a·x) аламыз.

3-қадам: көбейткеннен кейін сол жақ бөлік толық туындыға (y·μ)′ айналады.

4-қадам: оң жақ бөлікті интегралдаймыз және C тұрақтысын қосамыз.

5-қадам: e^(a·x)-пен көбейтеміз және y(x) жалпы шешімін аламыз.

Егер a = 0 болса, теңдеу y′ = b түріне айналады және интеграциялау арқылы бірден шешіледі. Егер a ≠ 0 болса — интеграциялаушы көбейткіш μ(x)=e^(−a·x) қолданамыз.

Тексеру: табылған y(x) мәнін a·y + b оң жағына қойып, y′(x) алатынымызды тексереміз.

C тұрақтысы не білдіреді?
Бұл дифференциалдық теңдеудің шешімдер отбасын көрсететін еркін тұрақты.

Интегралдаушы көбейткішсіз қашан шешуге болады?
a = 0 болғанда: теңдеу y′ = b болып, тікелей интегралдаумен шешіледі.

Тексеру не үшін қажет?
Шешімді орнына қойғанда y′ туындысының a·y + b өрнегімен сәйкес келуін тексеру үшін.